01 - Error analysis

误差分析

十进制 $0. a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n} \times 10^{m}$
$β$ 进制 $f l (x) = \tilde{x} = \pm (\frac{x_{1}}{β^{1}} + \frac{x_{2}}{β^{2}} \dots + \frac{x_{n}}{β^{t}}) \times β^{l}$
- 绝对误差限(舍入误差导致): $\frac{1}{2} β^{l - t}$
- 相对误差限: $\frac{1}{2} β^{1 - t}$
- p.s. 有效位数越多，绝对与相对误差相对更小
  浮点数系可以使用 $F (β, t, L, U)$ 表示，分别表示进制, 有效位数, 指数位的上界与下界
$⋆$ 浮点数系的范围: $f l_{min} (x) = β^{1 - L} \leq | f l (x) | \leq β^{U} \cdot (1 - β^{t})$
p.s. $f l (x)$ 中的第一位 $x_{1}$ 不能取 $0$ , 浮点数系有一般可以表示正负, 浮点数系还需要包含 $0$ .
$⋆$ 浮点数系的个数: $2 (β - 1) \times β^{t - 1} \times (U - L + 1) + 1$

Def. 对于函数 $f (x)$ 在 $x$ 处，可以计算对应函数的条件数 $C o n d (x)$ $\frac{| f (x) - f (\tilde{x}) |}{| f (x) |} = C o n d (x) \times \frac{| x - \tilde{x} |}{| x |} \approx | x \frac{f^{^{'}} (x)}{f (x)} |$
我们一般会把条件数大于 $1$ 称为是病态的，而条件数小于 $1$ 可以称误差是可以控制的